Đề là \(a=\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5}-3\right)\sqrt{4-\sqrt{15}}\)

Hay \(a=\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\sqrt{4-\sqrt{15}}\) bạn?

Như bạn ghi thì ko có gì đặc biệt để tính ra kết quả đẹp đâu

\(1)\left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt {4 - \sqrt {15} } } \right)\\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {150} - \sqrt {90} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \sqrt {10\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} + \sqrt {6\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\ = \sqrt {40 - 10\sqrt {15} } + \sqrt {24 - 6\sqrt {15} } \\ = \sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {15} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {15} } \right)}^2}} \\ = 5 - \sqrt {15} + \sqrt {15} - 3 = 2\)

2) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có

\(\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}} + \dfrac{{y + z}}{4} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{{y + z}}.\dfrac{{y + z}}{4}} = x(1)\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\dfrac{{{y^2}}}{{z + x}} + \dfrac{{z + x}}{4} \ge y\left( 2 \right)\\ \dfrac{{{z^2}}}{{x + y}} + \dfrac{{x + y}}{4} \ge z\left( 3 \right) \)

Từ (1), (2), (3) ta có ngay:\(\left(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\right)+ \left(\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\right)+\left( \dfrac{z^2}{x+y} +\dfrac{x+y}{4}\right)\geqslant x+y+z\\ \iff\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant \dfrac{x+y+z}{2} \)

Chú ý rằng \(x+y+z=2\), ta có ngay\(\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $1$, đạt được khi $x=y=z=\dfrac{2}{3}$.

Haizzz bị lỗi công thức suốt :((

\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeaacaGaaiaabeqaamaabaabaaGceaqabeaacaaIXa % GaaiykamaabmaabaGaaGinaiabgUcaRmaakaaabaGaaGymaiaaiwda % aSqabaaakiaawIcacaGLPaaadaqadaqaamaakaaabaGaaGymaiaaic % daaSqabaGccqGHsisldaGcaaqaaiaaiAdaaSqabaaakiaawIcacaGL % PaaadaqadaqaamaakaaabaGaaGinaiabgkHiTmaakaaabaGaaGymai % aaiwdaaSqabaaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaaqaaiabg2da9maabmaa % baGaaGinamaakaaabaGaaGymaiaaicdaaSqabaGccqGHsislcaaI0a % WaaOaaaeaacaaI2aaaleqaaOGaey4kaSYaaOaaaeaacaaIXaGaaGyn % aiaaicdaaSqabaGccqGHsisldaGcaaqaaiaaiMdacaaIWaaaleqaaa % GccaGLOaGaayzkaaWaaOaaaeaacaaI0aGaeyOeI0YaaOaaaeaacaaI % XaGaaGynaaWcbeaaaeqaaaGcbaGaeyypa0ZaaeWaaeaacaaI0aWaaO % aaaeaacaaIXaGaaGimaaWcbeaakiabgkHiTiaaisdadaGcaaqaaiaa % iAdaaSqabaGccqGHRaWkcaaI1aWaaOaaaeaacaaI2aaaleqaaOGaey % OeI0IaaG4mamaakaaabaGaaGymaiaaicdaaSqabaaakiaawIcacaGL % PaaadaGcaaqaaiaaisdacqGHsisldaGcaaqaaiaaigdacaaI1aaale % qaaaqabaaakeaacqGH9aqpdaqadaqaamaakaaabaGaaGymaiaaicda % aSqabaGccqGHRaWkdaGcaaqaaiaaiAdaaSqabaaakiaawIcacaGLPa % aadaGcaaqaaiaaisdacqGHsisldaGcaaqaaiaaigdacaaI1aaaleqa % aaqabaaakeaacqGH9aqpdaGcaaqaaiaaigdacaaIWaWaaeWaaeaaca % aI0aGaeyOeI0YaaOaaaeaacaaIXaGaaGynaaWcbeaaaOGaayjkaiaa % wMcaaaWcbeaakiabgUcaRmaakaaabaGaaGOnamaabmaabaGaaGinai % abgkHiTmaakaaabaGaaGymaiaaiwdaaSqabaaakiaawIcacaGLPaaa 1)\left( {4 + \sqrt {15} } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt {4 - \sqrt {15} } } \right)\\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + \sqrt {150} - \sqrt {90} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {4\sqrt {10} - 4\sqrt 6 + 5\sqrt 6 - 3\sqrt {10} } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \left( {\sqrt {10} + \sqrt 6 } \right)\sqrt {4 - \sqrt {15} } \\ = \sqrt {10\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} + \sqrt {6\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\ = \sqrt {40 - 10\sqrt {15} } + \sqrt {24 - 6\sqrt {15} } \\ = \sqrt {{{\left( {5 - \sqrt {15} } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {15} } \right)}^2}} \\ = 5 - \sqrt {15} + \sqrt {15} - 3 = 2 \)

2) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có

\begin{equation} \label{eq:1} \dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{x^2}{y+z}\cdot \dfrac{y+z}{4}}=x \end{equation}

Hoàn toàn tương tự:

\begin{align} \label{eq:2} \dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\geqslant y \\ \label{eq:3} \dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\geqslant z \end{align}

Từ \eqref{eq:1}, \eqref{eq:2}, \eqref{eq:3} ta có ngay

\[\left(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\right)+ \left(\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4}\right)+\left( \dfrac{z^2}{x+y} +\dfrac{x+y}{4}\right)\geqslant x+y+z\]

\[\iff\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant \dfrac{x+y+z}{2}\]

Chú ý rằng $x+y+z=2$, ta có ngay

\[\dfrac{x^2}{y+z}+ \dfrac{y^2}{z+x}+ \dfrac{z^2}{x+y}\geqslant 1\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $1$, đạt được khi $x=y=z=\dfrac{2}{3}$.

=26928

a: =>2sin(x+pi/3)=-1

=>sin(x+pi/3)=-1/2

=>x+pi/3=-pi/6+k2pi hoặc x+pi/3=7/6pi+k2pi

=>x=-1/2pi+k2pi hoặc x=2/3pi+k2pi

b: =>2sin(x-30 độ)=-1

=>sin(x-30 độ)=-1/2

=>x-30 độ=-30 độ+k*360 độ hoặc x-30 độ=180 độ+30 độ+k*360 độ

=>x=k*360 độ hoặc x=240 độ+k*360 độ

c: =>2sin(x-pi/6)=-căn 3

=>sin(x-pi/6)=-căn 3/2

=>x-pi/6=-pi/3+k2pi hoặc x-pi/6=4/3pi+k2pi

=>x=-1/6pi+k2pi hoặc x=3/2pi+k2pi

d: =>2sin(x+10 độ)=-căn 3

=>sin(x+10 độ)=-căn 3/2

=>x+10 độ=-60 độ+k*360 độ hoặc x+10 độ=240 độ+k*360 độ

=>x=-70 độ+k*360 độ hoặc x=230 độ+k*360 độ

e: \(\Leftrightarrow2\cdot sin\left(x-15^0\right)=-\sqrt{2}\)

=>\(sin\left(x-15^0\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

=>x-15 độ=-45 độ+k*360 độ hoặc x-15 độ=225 độ+k*360 độ

=>x=-30 độ+k*360 độ hoặc x=240 độ+k*360 độ

f: \(\Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

=>x-pi/3=-pi/4+k2pi hoặc x-pi/3=5/4pi+k2pi

=>x=pi/12+k2pi hoặc x=19/12pi+k2pi

g) \(3+\sqrt[]{5}sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{3}{\sqrt[]{5}}\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=sin\left[arcsin\left(-\dfrac{3}{\sqrt[]{5}}\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\dfrac{\pi}{3}=arcsin\left(-\dfrac{3}{\sqrt[]{5}}\right)+k2\pi\\x+\dfrac{\pi}{3}=\pi-arcsin\left(-\dfrac{3}{\sqrt[]{5}}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=arcsin\left(-\dfrac{3}{\sqrt[]{5}}\right)-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\dfrac{2\pi}{3}-arcsin\left(-\dfrac{3}{\sqrt[]{5}}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\)

h) \(1+sin\left(x-30^o\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x-30^o\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x-30^o\right)=sin\left(-90^o\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-30^o=-90^0+k360^o\\x-30^o=180^o+90^0+k360^o\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-60^0+k360^o\\x=300^0+k360^o\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=-60^0+k360^o\)

`1. P = x/(sqrt x-1)`

`= (x-1+1)/(sqrtx-1)`

`= ((sqrt x+1)(sqrt x-1))/(sqrt x-1) +1/(sqrt x-1)`

`= sqrt x+1 + 1/(sqrt x-1)`

`= sqrtx-1 + 1/(sqrt x-1) + 2 >= 4`.

ĐTXR `<=> (sqrtx-1)^2 = 1`.

`<=> x =4` hoặc `x = 0 ( ktm)`.

Vậy Min A `= 4 <=> x= 4`.

1) \(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{(x-\sqrt{x})+(\sqrt{x}-1)+1}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+1\)

\(=\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2\)

Với x>1\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1>0\\\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}>0\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương \(\sqrt{x}-1\) và \(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\), ta có:

\(\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\ge2\sqrt{(\sqrt{x}-1).\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}}=2\)

\(\Rightarrow P\ge2+2=4\)

Dấu = xảy ra khi: \(\sqrt{x}-1=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\left(tm\right)\)

KL;....

2:

\(B=\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{x-9+25}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\sqrt{x}-3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}-6\)

=>\(B>=2\cdot\sqrt{25}-6=4\)

Dấu = xảy ra khi (căn x+3)^2=25

=>căn x+3=5

=>căn x=2

=>x=4

để \(y=\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)x+\sqrt{5}+\sqrt{3}=1\)

thì \(\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)x=1-\sqrt{5}-\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\)

b.\(f^2\left(x\right)=\left[\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)x+\sqrt{5}+\sqrt{3}\right]^2=8+2\sqrt{15}=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)x+2\sqrt{5}+2\sqrt{3}\right]\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)x=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)x}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)x}\end{cases}}\)

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq \sqrt{15}$

Đặt $\sqrt{x^2-15}=a; \sqrt{x-3}=b(a,b\geq 0)$

PT đã cho trở thành:

$a^2+b^2+1=ab+a+b$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2=2ab+2a+2b$

$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b=0$

$\Leftrightarrow (a^2+b^2-2ab)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2=0$

Thấy rằng $(a-b)^2\geq 0; (a-1)^2\geq 0; (b-1)^2\geq 0$ với mọi $a,b\geq 0$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $(a-b)^2=(a-1)^2=(b-1)^2=0$

$\Rightarrow a=b=1$

$\Rightarrow a^2=b^2=1$

$\Rightarrow x^2-15=x-3=1$

$\Rightarrow x=4$ (thỏa mãn)

Vậy.......